Determine três números reais em P.G. de modo que sua soma seja 218 e a soma de seus quadrados seja 18964.

Passo 1

O enunciado pede três números reais em progressão geométrica (P.G.) tais que a soma seja tfrac218 e a soma dos quadrados seja tfrac18964. Para isso, vamos usar as fórmulas de soma de termos de P.G. e de soma de quadrados de termos de P.G.

Passo 2

Sejam a o primeiro termo da P.G. e q a razão. Então os três termos são
a, aq, aq^2
e temos as equações
a,(1+q+q^2)=218,
a^2,(1+q^2+q^4)=18964

Passo 3

Da primeira equação isolamos a:
a = tfrac2181+q+q^2
Substituindo na segunda:
l(21/81+q+q^2r)^!2!(1+q^2+q^4)=18964

Passo 4

Calculando (21/8)^2=441/64 e simplificando, obtemos
441;1+q^2+q^4(1+q+q^2)^2=189 Longrightarrow 2q^4 - 3q^3 - q^2 - 3q + 2 = 0

Passo 5

O polinômio fatoriza como
2q^4 - 3q^3 - q^2 - 3q + 2 = (q-2)(q-tfrac12),2,(q^2+q+1)=0
As raízes reais são q=2 e q=tfrac12.

Passo 6

  • Para q=2: da primeira soma a(1+2+4)=7a=tfrac218, vem a=tfrac38. Os termos são
38, 34, 32
  • Para q=tfrac12: vem a(1+tfrac12+tfrac14)=tfrac74a=tfrac218, logo a=tfrac32. Os termos são
32, 34, 38

Resposta

Os três números são tfrac38, tfrac34, tfrac32 (razão 2) ou tfrac32, tfrac34, tfrac38 (razão tfrac12).

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