Calcule o quociente entre a soma dos termos de índice ímpar e a soma dos termos de índice par da P.A. finita (4, 7, 10, …, 517).

Passo 1

O enunciado pede o quociente entre a soma dos termos de índice ímpar e a soma dos termos de índice par da P.A. finita
4,,7,,10,,dots,,517
Aqui o conteúdo é soma de termos de progressão aritmética e subsequências (índices ímpares e pares). Vamos precisar:
  1. determinar o número total de termos n,
  2. identificar quantos termos vão para cada subsequência (ímpares e pares),
  3. usar a fórmula da soma de P.A.
  4. calcular o quociente e simplificar.

Passo 2

Para achar o número total de termos n usamos
an = a1 + (n-1)d,
com a1=4, d=3 e an=517. Logo
517 = 4 + (n-1)cdot3
513 = 3(n-1)
n-1 = 171 Longrightarrow n = 172

Passo 3

Como n=172 é par, temos exatamente metade dos termos em índices ímpares e metade em índices pares. Portanto
nº de termos ímpares = nº de termos pares = 1722 = 86 ºíº

Passo 4

Os termos de índice ímpar formam a P.A.
bk = 4 + (k-1)cdot6,
com k=1,2,dots,86 (diferença 2d=6). O primeiro é b1=4 e o último é
b86 = 4 + 85cdot6 = 4 + 510 = 514
A soma desses 86 termos é
Srm ímpar = 862,l(4 + 514r) = 43 times 518 = 22274 í

Passo 5

Os termos de índice par formam a P.A.
ck = 7 + (k-1)cdot6,
com k=1,2,dots,86. O primeiro é c1=7 e o último é
c86 = 7 + 85cdot6 = 7 + 510 = 517
A soma desses 86 termos é
Srm par = 862,l(7 + 517r) = 43 times 524 = 22532

Passo 6

O quociente pedido é
Srm ímparSrm par = 2227422532 = 43 times 51843 times 524 = 518524 = 259262 í

Resposta

259262

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