Obtenha 5 números reais em P.A., sabendo que sua soma é 5 e a soma de seus inversos é 56363.

Passo 1

O enunciado pede cinco termos em P.A. cujos valores sejam reais, cuja soma vale 5 e a soma dos inversos vale tfrac56363
Vamos chamar esses termos de
a-2d,;a-d,;a,;a+d,;a+2d,
onde a é o termo central e d a razão.

Passo 2

Usamos a soma dos cinco termos para achar a:
(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=5 Longrightarrow a=1
Agora os termos são
1-2d,;1-d,;1,;1+d,;1+2d
A soma dos inversos é
11-2d+11-d+11+11+d+11+2d =56363
Como 11-kd+11+kd=21-k^2d^2, obtemos
1+21-d^2+21-4d^2=56363 Longrightarrow 21-d^2+21-4d^2=50063

Passo 3

Colocando sobre o mesmo denominador temos
4-10d^21-5d^2+4d^4=50063 ;Longrightarrow; 63(4-10d^2)=500l(1-5d^2+4d^4r)
Isto leva à equação em x=d^2:
2000x^2-1870x+248=0 ;Longrightarrow; 1000x^2-935x+124=0
O discriminante é De<a=935^2-4cdot1000cdot124=615^2, daí
x=d^2=935pm6152000 ;Longrightarrow; d^2inl425,,3140r

Passo 4

Extraímos d (podendo trocar o sinal, o que apenas inverte a ordem da P.A.):
  1. Se d^2=tfrac425, então ;d=pmtfrac25
    Os termos (com d=+tfrac25) são
    1-45=15, 1-25=35, 1, 1+25=75, 1+45=95
  2. Se d^2=tfrac3140, então ;d=pmraiztfrac3140=pmraiz31020
    Os termos (com d=+tfracraiz31020) são
    1-raiz31010,; 1-raiz31020,; 1,; 1+raiz31020,; 1+raiz31010

Resposta

As P.A. que satisfazem as condições são, até inversão de ordem,
15,;35,;1,;75,;95
e
1-raiz31010,;1-raiz31020,;1,;1+raiz31020,;1+raiz31010

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