Qual é o número mínimo de termos que devemos somar na P.A. (13, 454, 192, ldots), a partir do 1: termo, para que a soma seja negativa?

Passo 1

Resumindo o enunciado: a sequência dada é uma P.A. cujo primeiro termo é 13 e o segundo termo é tfrac454. O que se pede é o menor número de termos n tal que a soma dos n primeiros termos, Sn, seja negativa.

Passo 2

Para identificar a P.A., calculamos a diferença comum d como
d = a2 - a1 = 454 - 13 = -74

Passo 3

A fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A. é
Sn = n2l(2a1 + (n-1)dr)
Aqui temos a1 = 13 e d = -tfrac74.

Passo 4

Substituindo a1 e d em Sn,
Sn = n2l(2cdot13 + (n-1)l(-tfrac74r)r) = n2l(26 - 74(n-1)r)
Dentro do parêntese,
26 - 74(n-1) = 111 - 7n4,
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Sn = n(111 - 7n)8

Passo 5

Queremos Sn<0. Como o denominador 8 e n>0 são positivos, basta
n(111 - 7n) < 0 Longrightarrow 111 - 7n < 0 Longrightarrow n > 1117approx 15,857
O menor inteiro que satisfaz essa desigualdade é n = 16.

Resposta

O número mínimo de termos é 16.

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