Calcule a razão entre as duas calotas esféricas em que uma superfície esférica é dividida por um plano que passa por uma face do cubo inscrito.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre as áreas de duas calotas esféricas em que uma esfera de raio R é cortada por um plano que passa por uma face de um cubo inscrito nessa esfera.
Conteúdo: geometria espacial (cubo inscrito e calota esférica). Vamos precisar de
  1. relação entre a aresta a do cubo e o raio R da esfera;
  2. fórmula da área de uma calota esférica de altura h.

Passo 2

Seja a a aresta do cubo inscrito. A diagonal do cubo vale araiz3 e coincide com o diâmetro da esfera, logo
2R = araiz3 Longrightarrow R = araiz32
O plano passa por uma face do cubo, que está a uma distância d = tfraca2 do centro da esfera.

Passo 3

A área de uma calota esférica de altura h em esfera de raio R é
A = 2pi R,h
O corte gera duas calotas de alturas
h1 = R - d, h2 = R + d,
e, portanto, as áreas são
A1 = 2pi R,(R - d), A2 = 2pi R,(R + d)

Passo 4

A razão entre as áreas é
A1A2 = R - dR + d
Substituindo R=tfracaraiz32 e d=tfraca2
A1A2 = araiz32 - a2araiz32 + a2 = raiz3 - 1raiz3 + 1
Podemos racionalizar se quisermos:
raiz3 - 1raiz3 + 1 = 2 - raiz3

Resposta

A1A2 = raiz3 - 1raiz3 + 1 = 2 - raiz3

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