Calcule a razão entre as duas calotas esféricas em que uma superfície esférica é dividida por um plano que passa por uma face do cubo inscrito.
Passo 1
O enunciado pede a razão entre as áreas de duas calotas esféricas em que uma esfera de raio
é cortada por um plano que passa por uma face de um cubo inscrito nessa esfera.
Conteúdo: geometria espacial (cubo inscrito e calota esférica). Vamos precisar de
Conteúdo: geometria espacial (cubo inscrito e calota esférica). Vamos precisar de
- relação entre a aresta
do cubo e o raio da esfera; - fórmula da área de uma calota esférica de altura
.
Passo 2
Seja
a aresta do cubo inscrito. A diagonal do cubo vale
e coincide com o diâmetro da esfera, logo
O plano passa por uma face do cubo, que está a uma distância
do centro da esfera.
Passo 3
A área de uma calota esférica de altura
em esfera de raio
é
O corte gera duas calotas de alturas
e, portanto, as áreas são
Passo 4
A razão entre as áreas é
Substituindo
e
dá
Podemos racionalizar se quisermos: