Calcule a razão entre o volume de um cone equilátero de raio R e o do cilindro de revolução nele inscrito cuja geratriz seja igual ao raio da base.
Passo 1
O enunciado pede a razão entre o volume de um cone equilátero de raio
e o de um cilindro inscrito nele cuja geratriz (ou seja, a altura do cilindro) é igual ao raio da base do cone.
Conteúdos necessários: fórmula de volume de cone e de cilindro, e semelhança de triângulos para relacionar as dimensões do cilindro inscrito.
Conteúdos necessários: fórmula de volume de cone e de cilindro, e semelhança de triângulos para relacionar as dimensões do cilindro inscrito.
Passo 2
Em um cone equilátero, o triângulo gerador é equilátero de base
e lados iguais à geratriz
. Logo
e a altura
do cone satisfaz
Passo 3
No cilindro inscrito, a base do cilindro coincide com a base do cone e a tampa do cilindro toca a geratriz do cone. Como a geratriz do cilindro é a sua altura
, impõe-se
Pela semelhança entre o triângulo de geratriz do cone e o triângulo formado pela altura restante
e o raio
do cilindro, temos
Passo 4
Substituindo
e
na relação de semelhança, obtemos
Passo 5
Calculamos agora os volumes.
Volume do cone:
Volume do cilindro:
Note que
, logo
Passo 6
A razão procurada é
após racionalizar o denominador.
Resposta
A razão entre os volumes é