Calcule a razão entre o volume de um cone equilátero de raio R e o do cilindro de revolução nele inscrito cuja geratriz seja igual ao raio da base.

Passo 1

O enunciado pede a razão entre o volume de um cone equilátero de raio R e o de um cilindro inscrito nele cuja geratriz (ou seja, a altura do cilindro) é igual ao raio da base do cone.
Conteúdos necessários: fórmula de volume de cone e de cilindro, e semelhança de triângulos para relacionar as dimensões do cilindro inscrito.

Passo 2

Em um cone equilátero, o triângulo gerador é equilátero de base 2R e lados iguais à geratriz s. Logo
s = 2R
e a altura H do cone satisfaz
H = raizs^2 - R^2 = raiz(2R)^2 - R^2 = Rraiz3

Passo 3

No cilindro inscrito, a base do cilindro coincide com a base do cone e a tampa do cilindro toca a geratriz do cone. Como a geratriz do cilindro é a sua altura h, impõe-se
h = R
Pela semelhança entre o triângulo de geratriz do cone e o triângulo formado pela altura restante H-h e o raio r do cilindro, temos
rR = H - hH

Passo 4

Substituindo H = Rraiz3 e h = R na relação de semelhança, obtemos
rR = Rraiz3 - RRraiz3 = raiz3 - 1raiz3 Longrightarrow r = R,raiz3-1raiz3

Passo 5

Calculamos agora os volumes.
Volume do cone:
Vrm cone = 13pi R^2 H = 13pi R^2,(Rraiz3) = pi R^3raiz33
Volume do cilindro:
Vrm cyl = pi r^2 h = pi l(R,raiz3-1raiz3r)^!2,(R) = pi R^3(raiz3-1)^23
Note que (raiz3-1)^2 = 4 - 2raiz3, logo
Vrm cyl = pi R^3,4 - 2raiz33

Passo 6

A razão procurada é
Vrm coneVrm cyl = pi R^3raiz33 pi R^3,4 - 2raiz33 = raiz34 - 2raiz3 = 2raiz3 + 32,
após racionalizar o denominador.

Resposta

A razão entre os volumes é
boxedVrm coneVrm cyl = 2raiz3 + 32

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