Prove que o volume do tetraedro regular é a terça parte do paralelepípedo circunscrito.

Passo 1

Vamos provar que, se um tetraedro regular está inscrito num paralelepípedo cuja faces são paralelas aos planos dos quatro vértices escolhidos (no caso um cubo), então
o volume do tetraedro vale exatamente um terço do volume desse paralelepípedo.
Para isso, basta exibir um sistema de coordenadas no qual o paralelepípedo seja um cubo de aresta a e os quatro vértices do tetraedro sejam quatro vértices apropriados do cubo.

Passo 2

Escolhemos um cubo de aresta a com vértices em
(0,0,0),;(a,0,0),;(0,a,0),;(0,0,a),;(a,a,0),;(a,0,a),;(0,a,a),;(a,a,a)
Tomemos como tetraedro regular os vértices
A=(0,0,0), B=(a,a,0), C=(a,0,a), D=(0,a,a)
Primeiro, verificamos que esse tetraedro é regular, ou seja, que todos os seis lados têm o mesmo comprimento.
Por exemplo,
|AB| =raiz(a-0)^2+(a-0)^2+(0-0)^2 =raiz2a^2 =araiz2,
e de modo semelhante encontra-se
|AC|=araiz2,
|AD|=araiz2,
|BC|=araiz2,
|BD|=araiz2 e
|CD|=araiz2.

Passo 3

O volume do cubo (nosso paralelepípedo) é imediato:
Vcubo=a^3

Passo 4

Agora calculamos o volume do tetraedro ABCD tomando A como origem e usando como vetores arestas
AB,AC,AD.
Esses vetores são
AB=(a,a,0), AC=(a,0,a), AD=(0,a,a)
O volume do tetraedro é
Vtetra =16l|detl[AB,AC,ADr]r| =16l|det a & a & 0 a & 0 & a 0 & a & a r|
Calculando o determinante:
det a & a & 0 a & 0 & a 0 & a & a =a,(0cdot a - acdot a) - a,(acdot a - 0cdot0) + 0,(acdot a -0cdot a) = -a^3 - a^3 = -2a^3,
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Vtetra =16l|-2a^3r| =2a^36 =a^33

Resposta

Como Vcubo=a^3 e Vtetra=a^3/3, conclui-se que
o volume do tetraedro regular é exatamente um terço do volume do paralelepípedo circunscrito.

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