Prove que o volume do tetraedro regular é a terça parte do paralelepípedo circunscrito.
Passo 1
Vamos provar que, se um tetraedro regular está inscrito num paralelepípedo cuja faces são paralelas aos planos dos quatro vértices escolhidos (no caso um cubo), então
o volume do tetraedro vale exatamente um terço do volume desse paralelepípedo.
Para isso, basta exibir um sistema de coordenadas no qual o paralelepípedo seja um cubo de aresta e os quatro vértices do tetraedro sejam quatro vértices apropriados do cubo.
Passo 2
Escolhemos um cubo de aresta com vértices em
Tomemos como tetraedro regular os vértices
Primeiro, verificamos que esse tetraedro é regular, ou seja, que todos os seis lados têm o mesmo comprimento.
Por exemplo,
e de modo semelhante encontra-se , , , e .
Passo 3
O volume do cubo (nosso paralelepípedo) é imediato:
Passo 4
Agora calculamos o volume do tetraedro tomando como origem e usando como vetores arestas .
Esses vetores são
O volume do tetraedro é
Calculando o determinante:
det a & a & 0 a & 0 & a 0 & a & a =a,(0cdot a - acdot a) - a,(acdot a - 0cdot0) + 0,(acdot a -0cdot a) = -a^3 - a^3 = -2a^3,
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Vtetra =16l|-2a^3r| =2a^36 =a^33
Resposta
Como Vcubo=a^3 e Vtetra=a^3/3, conclui-se que
o volume do tetraedro regular é exatamente um terço do volume do paralelepípedo circunscrito.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 941