Calcule e represente graficamente todas as raízes no plano complexo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar todas as soluções de
no conjunto dos números complexos e representá-las geometricamente no plano de Argand. O método envolve usar a forma polar (ou exponencial) dos números complexos e a fórmula geral para raízes
-ésimas.
Passo 2
Escrevemos o número
em forma polar/exponencial. Como
está sobre o círculo unitário, seu módulo é
, e seu argumento principal é
. Logo, para inteiro
,
Passo 3
Pela fórmula das raízes de ordem
, as soluções são
Podemos reindexar usando
.
Passo 4
Calculamos explicitamente cada raiz, lembrando que
:
Passo 5
No plano complexo, cada
é um ponto do círculo unitário nos ângulos
. Geometricamente formam os vértices de um quadrado inscrito no círculo de raio
, centrado na origem, com um vértice no primeiro quadrante a
.