Calcule e represente graficamente todas as raízes no plano complexo.
\sqrt[4]{-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar todas as soluções de
z^{4} = -1
no conjunto dos números complexos e representá-las geometricamente no plano de Argand. O método envolve usar a forma polar (ou exponencial) dos números complexos e a fórmula geral para raízes n-ésimas.

Passo 2

Escrevemos o número -1 em forma polar/exponencial. Como -1 está sobre o círculo unitário, seu módulo é 1, e seu argumento principal é \pi. Logo, para inteiro m,
-1 = e^{i(\pi + 2\pi m)}.

Passo 3

Pela fórmula das raízes de ordem 4, as soluções são
z_{k} = \bigl(e^{i(\pi + 2\pi m)}\bigr)^{1/4} = e^{i(\pi + 2\pi m)/4} \quad\text{com }m=0,1,2,3.
Podemos reindexar usando k=m.

Passo 4

Calculamos explicitamente cada raiz, lembrando que
\theta_{k} = (\pi + 2\pi k)/4 = \tfrac{\pi}{4} + \tfrac{\pi}{2}k:
\begin{aligned} z_{0} &= e^{i\pi/4} = \tfrac{\sqrt2}{2} + i\,\tfrac{\sqrt2}{2},\\\ z_{1} &= e^{i3\pi/4} = -\tfrac{\sqrt2}{2} + i\,\tfrac{\sqrt2}{2},\\\ z_{2} &= e^{i5\pi/4} = -\tfrac{\sqrt2}{2} - i\,\tfrac{\sqrt2}{2},\\\ z_{3} &= e^{i7\pi/4} = \tfrac{\sqrt2}{2} - i\,\tfrac{\sqrt2}{2}. \end{aligned}

Passo 5

No plano complexo, cada z_{k} é um ponto do círculo unitário nos ângulos
\pi/4,3\pi/4,5\pi/4,7\pi/4. Geometricamente formam os vértices de um quadrado inscrito no círculo de raio 1, centrado na origem, com um vértice no primeiro quadrante a 45^\circ.

Resposta

z_{0} = \tfrac{\sqrt2}{2} + i\,\tfrac{\sqrt2}{2},\quad z_{1} = -\tfrac{\sqrt2}{2} + i\,\tfrac{\sqrt2}{2},\quad z_{2} = -\tfrac{\sqrt2}{2} - i\,\tfrac{\sqrt2}{2},\quad z_{3} = \tfrac{\sqrt2}{2} - i\,\tfrac{\sqrt2}{2}.

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