Calcule p, sabendo que Am, p=Cm, p forall m e 0 <= p<m.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de p, fixo e independente de m, de modo que
Am,p=Cm,p
para todo inteiro m e para 0<= p<m. Aqui o conteúdo é a definição de disposições e combinações.

Passo 2

Pela definição temos
Am,p=m!(m-p)!,
pois são as disposições de m elementos tomados p a p; e
Cm,p=m!p!,(m-p)!,
pois são as combinações de m elementos tomados p a p.

Passo 3

Igualando as duas expressões:
m!(m-p)! ;=;m!p!,(m-p)!
Como m!/(m-p)! é diferente de zero, podemos cancelar esse fator em ambos os lados, obtendo
1=1p! Longrightarrow p!=1

Passo 4

A única forma de ter p!=1 com p inteiro não negativo é p=0 ou p=1. Ambos satisfazem 0<= p<m para todo m>1.

Resposta

p=0 ou p=1.

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