Calcule os seguintes limites
Ex. 8.41 - Dados dois polinômios p(n)=ak n^k+ak-1 n^k-1+cdots+a0 e q(n)=bm n^m+
bm-1 n^m-1+cdots+b0. Calcule
lim n infty p(n)q(n)
(Dica: Considere os casos k<m, k>m, k=m).

Passo 1

O enunciado dá dois polinômios
p(n)=akn^k+ak-1n^k-1+cdots+a0
e
q(n)=bmn^m+bm-1n^m-1+cdots+b0
e pede
limntoinftyp(n)q(n).
O conteúdo é limites de funções polinomiais, e vamos usar que, para n muito grande, só importam os termos de maior grau.

Passo 2

Extraímos os termos de maior grau em numerador e denominador:
p(n)q(n) =akn^k+cdotsbmn^m+cdots ;approx;akn^kbmn^m =akbm,n^,k-m

Passo 3

Caso k<m: o expoente k-m é negativo, logo
limntoinftyp(n)q(n) =limntoinftyakbm,n^k-m =0

Passo 4

Caso k>m: o expoente k-m é positivo, então
p(n)q(n)simakbm,n^,k-m
cresce em módulo sem limite finito. Em particular, se tfracakbm>0 tende a +infty, e se tfracakbm<0 tende a -infty.

Passo 5

Caso k=m: o expoente k-m é zero, e
limntoinftyp(n)q(n) =limntoinftyakbm,n^0 =akbm

Resposta

Sejam k e m os graus de p e q.
- Se k<m, então limntoinftyp(n)q(n)=0.
- Se k>m, então limntoinftyp(n)q(n)=pminfty (mais precisamente +infty se ak/bm>0, senão -infty).
- Se k=m, então limntoinftyp(n)q(n)=akbm.

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