Ex. 8.42 - Prove que se
então a série
diverge. (Dica prove que
diverge e conclua a partir desse fato que
diverge.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
, então a sequência
diverge. O conteúdo envolvido é análise de sequência geométrica e critérios de convergência. Vamos usar dois fatos principais:
- Se uma sequência converge, então a sequência dos seus valores absolutos também converge (pois
é contínua). - A sequência geométrica
diverge para sempre que .
Passo 2
Como
, temos
Considere então a sequência
. É uma sequência geométrica de razão
. Para ver que ela diverge para
, tome um número arbitrário
. Como
, existe
tal que
Então, para todo
,
o que mostra que
. Assim,
diverge.
Passo 3
Suponha, por absurdo, que
converge, digamos para um limite
. Então pela continuidade do valor absoluto teríamos
ou seja,
seria convergente (e portanto limitada). Mas isso contradiz o resultado do Passo 2, que diz que
diverge. Logo a hipótese de convergência de
é falsa.
Resposta
A sequência
diverge sempre que
.