Ex. 8.42 - Prove que se r<-1 então a série r^n diverge. (Dica prove que |r|^n diverge e conclua a partir desse fato que r^n diverge.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se r< -1, então a sequência l(r^nr) diverge. O conteúdo envolvido é análise de sequência geométrica e critérios de convergência. Vamos usar dois fatos principais:
  1. Se uma sequência converge, então a sequência dos seus valores absolutos também converge (pois lvertcdotrvert é contínua).
  2. A sequência geométrica l(q^nr) diverge para +infty sempre que lvert qrvert>1.

Passo 2

Como r< -1, temos
lvert rrvert >1
Considere então a sequência l(lvert rrvert^nr). É uma sequência geométrica de razão lvert rrvert>1. Para ver que ela diverge para +infty, tome um número arbitrário M>0. Como lvert rrvert>1, existe NinN tal que
lvert rrvert^N > M
Então, para todo n>= N,
lvert rrvert^n = lvert rrvert^,n-N,lvert rrvert^N >= lvert rrvert^N > M,
o que mostra que lvert rrvert^nto+infty. Assim, l(lvert rrvert^nr) diverge.

Passo 3

Suponha, por absurdo, que l(r^nr) converge, digamos para um limite L. Então pela continuidade do valor absoluto teríamos
lvert r^nrvert ;longrightarrow;lvert Lrvert,
ou seja, l(lvert r^nrvertr) seria convergente (e portanto limitada). Mas isso contradiz o resultado do Passo 2, que diz que lvert rrvert^n diverge. Logo a hipótese de convergência de l(r^nr) é falsa.

Resposta

A sequência l(r^nr) diverge sempre que r< -1.

Exercícios de Livros Relacionados