Ex. 8.28 - Calcule os seguintes limites:
lim n infty sen(1 / 6 n)sen(1 / 4 n)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limntoinftysinl(tfrac16nr)sinl(tfrac14nr)
O conteúdo principal aqui é reconhecer que, quando o argumento tende a zero, vale a aproximação sin(x)approx x.

Passo 2

Note que, à medida que ntoinfty, os argumentos tfrac16n e tfrac14n vão a zero. Sabemos que
limxto0sin(x)x=1,
ou seja, para x pequeno temos sin(x)=x+o(x).

Passo 3

Escrevemos a razão em três fatores de modo a usar a equivalência sin(x)sim x:
sinl(tfrac16nr)sinl(tfrac14nr) =sinl(tfrac16nr)tfrac16n ;cdot; tfrac14nsinl(tfrac14nr) ;cdot; tfrac16ntfrac14n

Passo 4

Para ntoinfty os dois primeiros fatores tendem a 1 pela propriedade sin(x)/xto1, e o terceiro vale
tfrac16ntfrac14n =16n,4n1 =46 =23
Logo o limite da expressão toda é tfrac23.

Resposta

23

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