Ex. 8.17 - Dado M>0 arbitrário, determine, em cada caso, m in N^* tal que an<-M para todo n >= m, onde:
an=-n^4

Passo 1

O enunciado quer, dado M>0, achar minN^* tal que para todo n>= m ocorra
an<-M,
sendo
an=-n^4
É um exercício de sequências que tendem a -infty e de resolução de desigualdades.

Passo 2

Precisamos resolver
an<-M iff -n^4< -M
Multiplicando ambos os lados por -1 e invertendo a desigualdade, obtemos
n^4 > M

Passo 3

Da condição n^4>M segue n>M^1/4. Como n é inteiro positivo, basta escolher
m = lfloor M^1/4rfloor +1
Para todo n>= m teremos n>M^1/4, logo n^4>M e portanto an<-M.

Resposta

m = lfloor M^1/4rfloor +1

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