Calcule os seguintes limites
lim n infty (n+3)^2(2 n+3)^3(-n+2)(n+7)^4(n-8)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limntoinfty (n+3)^2(2n+3)^3(-n+2)(n+7)^4(n-8)
Esse é um limite de sequência racional em que os polinômios têm grau diferente no numerador e denominador. Vamos usar fatoração por potências de n para identificar o termo dominante.

Passo 2

Escrevemos cada fator em função de n:
(n+3)^2 = n^2l(1+tfrac3nr)^2, (2n+3)^3 = 8,n^3l(1+tfrac32nr)^3,
(-n+2) = -,nl(1-tfrac2nr), (n+7)^4 = n^4l(1+tfrac7nr)^4, (n-8) = nl(1-tfrac8nr)

Passo 3

Substituindo na expressão original,
(n+3)^2(2n+3)^3(-n+2)(n+7)^4(n-8) = n^2(1+tfrac3n)^2,cdot,8n^3(1+tfrac32n)^3,cdot,[-n(1-tfrac2n)]n^4(1+tfrac7n)^4,cdot,n(1-tfrac8n)
Agrupando as potências de n, obtemos
-8,n^2+3+1 - (4+1); (1+tfrac3n)^2(1+tfrac32n)^3(1-tfrac2n) (1+tfrac7n)^4(1-tfrac8n) = -8,n;(1+tfrac3n)^2(1+tfrac32n)^3(1-tfrac2n) (1+tfrac7n)^4(1-tfrac8n)

Passo 4

Quando ntoinfty, todos os fatores do tipo l(1+tfracconstnr) tendem a 1. Logo, a fração tende a 1 e o termo dominante é
-8,n
Como -8,nto -infty quando ntoinfty, o limite pedido também diverge para -infty.

Resposta

limntoinfty (n+3)^2(2n+3)^3(-n+2)(n+7)^4(n-8) = -infty

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