Calcule os seguintes limites
lim n infty 3cos (1 / n)-1

Passo 1

O enunciado pede calcular
limntoinfty3cos(1/n)-1
O conteúdo principal é o cálculo de limites de sequência usando a expansão em série de Taylor de cos x em torno de 0.

Passo 2

Observamos que 1/nto0 quando ntoinfty. A expansão de Taylor de cos x para xapprox0 é
cos x = 1 - x^22 + o(x^2)
Substituindo x = 1/n obtém-se a forma assintótica de cos(1/n)-1.

Passo 3

Temos
cos(1/n)-1 = -12n^2 + o!l(1n^2r)
Logo,
3cos(1/n)-1 = 3-12n^2 + ol(1n^2r) = -6,n^2cdot11+o(1) sim -6,n^2

Passo 4

Como -6,n^2to -infty quando ntoinfty, concluímos que o limite diverge para -infty.

Resposta

-infty

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