Seja h in R neq 0. Usando identidades trigonométricas mostre que:
cos (x+h)-cos (x)h=-sen(h / 2)h / 2 sen(x+h2)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para hneq0,
cos(x+h)-cos(x)h = -sen(h/2)h/2,senl(x+h2r)
Para isso, vamos usar a identidade trigonométrica de diferença de cossenos:
cos A - cos B = -2,senl(A+B2r),senl(A-B2r)

Passo 2

Aplicando essa identidade com A = x+h e B = x, obtemos:
cos(x+h)-cos(x) = -2,sen!l(tfrac(x+h)+x2r),sen!l(tfrac(x+h)-x2r) = -2,sen!l(x+tfrach2r),sen!l(tfrach2r)

Passo 3

Dividindo ambos os lados por h, vem
cos(x+h)-cos(x)h = -2h,sen!l(tfrach2r),sen!l(x+tfrach2r)

Passo 4

Observamos que
2h = 1h/2,
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-2h,sen!l(tfrach2r) = -sen(h/2)h/2
Substituindo na expressão do Passo 3, concluímos a identidade desejada.

Resposta

cos(x+h)-cos(x)h = -sen(h/2)h/2,senl(x+h2r)

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