Calcule os seguintes limites
lim n infty(1+1n)^n^2

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite da sequência
an = l(1+tfrac1nr)^n^2
quando n to infty. O conteúdo envolvido é limite de sequência com expressão exponencial. Para resolver vamos usar a técnica de tomar o logaritmo natural e usar a expansão de log(1+x) para x pequeno.

Passo 2

Definimos L = limntoinfty an. Se existir, então podemos estudar
ln an = n^2,lnl(1+tfrac1nr)
Se ln anto +infty, segue que anto+infty.

Passo 3

Usamos a expansão em série de Taylor para ln(1+x) em torno de x=0:
ln(1+x) = x - tfracx^22 + O(x^3), xto0
Aqui x = tfrac1n, logo
lnl(1+tfrac1nr) = tfrac1n - tfrac12n^2 + Ol(tfrac1n^3r)

Passo 4

Multiplicamos por n^2:
n^2,lnl(1+tfrac1nr) = n^2l(tfrac1n - tfrac12n^2 + O(tfrac1n^3)r) = n - tfrac12 + Ol(tfrac1nr)
À medida que ntoinfty, isso tende a +infty.

Passo 5

Concluímos que
ln an to +infty Longrightarrow an = e^ln an to +infty

Resposta

O limite diverge para +infty.

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