Calcule os seguintes limites
lim n infty tan (pi2+1n)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limn to infty tanl(tfracpi2 + tfrac1nr).
Trata-se de um limite de sequência envolvendo função trigonométrica. Para resolvê-lo, vamos usar o comportamento da tangente perto de tfracpi2 e uma identidade trigonométrica que relaciona tan e cot.

Passo 2

Observe que, quando n to infty, tem-se
tfrac1n ;longrightarrow; 0 Longrightarrow tfracpi2 + tfrac1n ;longrightarrow; tfracpi2
Entretanto, tan(x) não é contínua em x = tfracpi2 (há assíntota vertical), logo devemos analisar como diverge.

Passo 3

Aplicamos a identidade trigonométrica
tanl(tfracpi2 + thetar) ;=; -,cot(theta)
Tomando theta = tfrac1n, obtemos
tanl(tfracpi2 + tfrac1nr) =,-cotl(tfrac1nr)

Passo 4

Estudamos o comportamento de cotl(tfrac1nr):
cotl(tfrac1nr) =cos(tfrac1n)sin(tfrac1n)
Para ntoinfty, cos(tfrac1n)to1 e sin(tfrac1n)simtfrac1n. Logo
cotl(tfrac1nr)sim1tfrac1n=n,
e portanto
-cotl(tfrac1nr)sim -n;longrightarrow;-,infty

Resposta

-infty

Exercícios de Livros Relacionados