a) Calcule a soma S=log 2 a+log 2 2 a+log 2 4 a+ldots+log 2 2^n a.
b) Qual o valor de a, se S=n+1 ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
a) Calcular
S = log2a + log2(2a) + log2(4a) + cdots + log2(2^na)
b) Encontrar a de modo que S = n+1.
O conteúdo envolve propriedades de logaritmo (soma e passagem de potência para fator) e soma de progressão aritmética.

Passo 2

Vamos escrever o k-ésimo termo de S. Para k=0,1,dots,n:
log2l(2^kar) = log2a + log2l(2^kr) = log2a + k
Logo cada termo é log2a + k.

Passo 3

Somando de k=0 até k=n:
S = sumk=0^nl(log2a + kr) = sumk=0^nlog2a ;+;sumk=0^nk
A soma de log2a repetida (n+1) vezes é (n+1)log2a, e
sumk=0^nk = tfracn(n+1)2.
Portanto
S = (n+1)log2a ;+;n(n+1)2

Passo 4

Para a parte (b), impomos S = n+1, isto é,
(n+1)log2a + n(n+1)2 = n+1
Como n+1neq0, dividimos ambos os lados por n+1:
log2a + n2 = 1 Longrightarrow log2a = 1 - n2

Passo 5

Finalmente, tiramos o logaritmo:
a = 2^,1 - n2

Resposta

a) S=(n+1)log2a+n(n+1)2
b) a=2^,1-n2.

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