Calcule a soma: \sum_{p=1}^{n} \frac{2^{p+1}}{p+1}\binom{n}{p}.

Passo 1

O enunciado pede calcular a soma
\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{p+1}\binom{n}{p}.
Este problema envolve manipulação de somatórios com coeficientes binomiais e o uso de representação integral para tratar termos do tipo \tfrac{1}{p+1}.

Passo 2

Definimos o somatório auxiliar
A = \sum_{p=0}^{n}\frac{2^{p}}{p+1}\binom{n}{p}
porque ele nos permitirá usar a identidade
\tfrac{1}{p+1}=\displaystyle\int_{0}^{1}t^{p}\,dt
e depois relacionar A com a soma original S.

Passo 3

Usando \tfrac{1}{p+1}=\int_{0}^{1}t^{p}\,dt, temos
A = \sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}2^{p}\int_{0}^{1}t^{p}\,dt = \int_{0}^{1}\sum_{p=0}^{n}\binom{n}{p}(2t)^{p}\,dt = \int_{0}^{1}(1+2t)^{n}\,dt.

Passo 4

Calculamos a integral:
A = \int_{0}^{1}(1+2t)^{n}\,dt = \left[\frac{(1+2t)^{n+1}}{2(n+1)}\right]_{0}^{1} = \frac{3^{n+1}-1}{2(n+1)}.

Passo 5

Agora retomamos a soma original S. Note que
S = \sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{p+1}\binom{n}{p} = 2\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p}}{p+1}\binom{n}{p} = 2\Bigl(\sum_{p=0}^{n}\frac{2^{p}}{p+1}\binom{n}{p}\Bigr) -2\frac{2^{0}}{1}\binom{n}{0} = 2A - 2.
Substituindo o valor de A do

Passo 6

S = 2\cdot\frac{3^{n+1}-1}{2(n+1)} - 2 = \frac{3^{n+1}-1}{n+1} - 2 = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{n+1}.

Resposta

\sum_{p=1}^{n}\frac{2^{p+1}}{p+1}\binom{n}{p} = \frac{3^{n+1} - 2n - 3}{n+1}.

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