Um químico tem 12 litros de álcool. Ele retira 3 litros e os substitui por água. Em seguida, retira 3 litros da mistura e os substitui por água novamente. Após efetuar essa operação 5 vezes, aproximadamente quantos litros de álcool sobram na mistura?

Passo 1

O enunciado diz que temos 12 L de álcool puro e repetimos 5 vezes a operação de retirar 3 L da mistura e repor com água, mantendo sempre o volume total em 12 L. O conteúdo é diluição sucessiva, em que a cada etapa a fração de álcool remanescente é multiplicada por um mesmo fator.

Passo 2

Vamos achar esse fator de remanescência de álcool em cada operação. Se antes da operação havia Q L de álcool em 12 L de mistura, a concentração de álcool era Q/12. Ao retirar 3 L, leva-se (Q/12)times3 L de álcool, ficando
Q - Q12times3 ;=; Q(1 - 312)
da quantidade anterior. Logo o fator de multiplicação é
1 - 312 = 912 = 34

Passo 3

Como a cada operação a quantidade de álcool é multiplicada por tfrac34, após n operações a quantidade de álcool Qn vale
Qn = Q0 (34)^n,
onde Q0=12 L.

Passo 4

Para n=5 temos
Q5 = 12 (34)^5

Passo 5

Calculando numericamente,
(34)^5 = 2431024 approx 0,2373,
portanto
Q5 approx 12 times 0,2373 = 2,8476;L

Resposta

Aproximadamente 2,85 litros de álcool.

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