A soma de três números que formam uma P.A. crescente é 36. Determine esses números, sabendo que, se somarmos 6 unidades ao último, eles passam a constituir uma P.G.

Passo 1

O problema pede três números em progressão aritmética (P.A.) crescente cuja soma é 36. Em P.A. crescente temos um termo inicial a e uma razão d>0, de modo que os três termos são
a, a+d, a+2d

Passo 2

A soma desses três termos vale 36, logo
a + (a+d) + (a+2d) = 36
que simplifica para
3a + 3d = 36 Longrightarrow a + d = 12

Passo 3

O enunciado diz que, se somarmos 6 unidades ao terceiro termo, os três passam a formar uma progressão geométrica (P.G.). Numa P.G. a razão é constante, isto é,
termo2termo1 = termo3termo2
Aqui isso vira
a+da = ,a+2d+6,a+d

Passo 4

Já sabemos que a+d=12. Além disso
a+2d = 2(a+d) - a = 2cdot12 - a = 24 - a,
então
a+2d+6 = (24 - a) + 6 = 30 - a
Substituindo em a+da = a+2d+6a+d
12a = 30 - a12 Longrightarrow 12^2 = a,(30 - a) Longrightarrow a^2 - 30a + 144 = 0

Passo 5

Resolvendo a^2 - 30a + 144 = 0 pelo discriminante:
De<a = 30^2 - 4cdot144 = 900 - 576 = 324,
a = 30 pm raiz3242 = 30 pm 182 ;Rightarrow; a = 24 ou a = 6
Como a P.A. deve ser crescente, exige-se d = 12 - a > 0, ou seja a<12. Assim escolhemos a=6 e então
d = 12 - 6 = 6
Os três termos da P.A. são
6, 12, 18

Resposta

6,;12 e 18.

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