Calcule a soma dos termos das seguintes sequências:
Calcule a soma da série infinita:
1+2+13+25+19+225+ldots+(13)^n+2 cdot(15)^n+ldots

Passo 1

O enunciado pede a soma da série infinita
1 + 2 + 13 + 25 + 19 + 225 + cdots + l(13r)^n + 2cdotl(15r)^n + cdots
Observamos que cada termo é a soma de duas parcelas geométricas de razão tfrac13 e tfrac15. Para somar séries infinitas geométricas, usaremos a fórmula
sumn=0^infty a,r^n = a1-r,válida para |r|<1 á

Passo 2

Separando a série em duas, temos
sumn=0^inftyl(tfrac13r)^n e sumn=0^infty2cdotl(tfrac15r)^n
Note que l|tfrac13r|<1 e l|tfrac15r|<1, então ambas convergem.

Passo 3

Para a primeira série temos a=1 e r=tfrac13, logo
sumn=0^inftyl(tfrac13r)^n = 11-tfrac13 = 1tfrac23 = 32

Passo 4

Para a segunda série temos a=2 (pois 2cdot(tfrac15)^0=2) e r=tfrac15, então
sumn=0^infty2cdotl(tfrac15r)^n = 21-tfrac15 = 2tfrac45 = 52

Passo 5

Somando os resultados parciais, obtemos
32 + 52 = 82 = 4

Resposta

A soma da série infinita é 4.

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