Calcule a soma dos termos das seguintes sequências:
Qual é o número para o qual converge a série \frac{2 a}{3}+\frac{a}{9}+\frac{a}{54}+\frac{a}{324}+··· ?

Passo 1

O enunciado pede a soma infinita da série
2a3 + a9 + a54 + a324 + cdots
Este é um caso de série geométrica infinita. Para resolver, vamos usar que, se uma série tem primeiro termo a1 e razão r com lvert rrvert<1, então
Sinfty = a11-r

Passo 2

Identificamos o primeiro termo a1 e a razão r:
a1 = 2a3, r = a9 2a3 = 16

Passo 3

Verificamos a convergência:
lvert rrvert = 16 < 1,
logo a série converge e podemos aplicar
Sinfty = a11 - r

Passo 4

Calculamos a soma usando a fórmula:
Sinfty = 2a31 - 16 = 2a356 = 2a3 times 65 = 12a15 = 4a5

Resposta

A série converge para 4a5.

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