Calcule a soma dos termos das seguintes sequências:
Determine a soma dos infinitos termos da progressão geométrica
raiz3raiz3+1, raiz3raiz3+3, ldots

Passo 1

O enunciado pede a soma dos infinitos termos de uma progressão geométrica (PG) cujo primeiro termo é
a1 = raiz3raiz3+1
e o segundo termo é
a2 = raiz3raiz3+3
Para somar uma PG infinita, vamos usar o critério de convergência lvert rrvert<1 e a fórmula
S = a11-r

Passo 2

Calculamos a razão r como
r = a2a1 = raiz3raiz3+3 raiz3raiz3+1 = raiz3raiz3+3,cdot,raiz3+1raiz3

Passo 3

Simplificando r:
r = l(raiz3+1r)l(raiz3+3r) = (raiz3+1)(3-raiz3)(raiz3+3)(3-raiz3) = 2raiz36 = raiz33

Passo 4

Verificamos que
lvert rrvert = llvert raiz33rrvert < 1,
logo a soma infinita converge e podemos aplicar
S = a11-r

Passo 5

Substituindo a1 e r em S:
S = raiz3raiz3+11 - raiz33 = raiz3raiz3+13-raiz33 = raiz3raiz3+1,cdot,33-raiz3 = 3(raiz3+1)(3-raiz3) = 32

Resposta

32

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