Calcule a soma dos termos das seguintes sequências:
Determine o valor de m, sabendo que 2+4m+8m^2+ldots=145.

Passo 1

O enunciado pede a soma de uma série infinita cujos termos formam uma progressão geométrica. O conteúdo é soma de série geométrica infinita, para a qual vamos usar a condição de convergência lvert rrvert<1 e a fórmula
S=a11-r

Passo 2

Identificamos o primeiro termo e a razão da progressão:
a1 = 2
r = termo seguintetermo atual = tfrac4m2 = 2m
Para convergência é preciso
lvert 2m rvert < 1 Longrightarrow |m|>2

Passo 3

Aplicando a fórmula da soma infinita com a1=2 e r=tfrac2m, temos
S = 21 - tfrac2m = 2m-2m = 2mm-2

Passo 4

O enunciado diz que essa soma vale tfrac145. Igualando e resolvendo para m:
2mm-2 = 145 Longrightarrow 5cdot 2m = 14,(m-2) Longrightarrow 10m = 14m - 28 Longrightarrow 4m = 28 Longrightarrow m = 7

Passo 5

Verificamos a condição de convergência |m|>2. Como 7>2, a solução é válida.

Resposta

7

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