Calcule a soma dos termos das seguintes sequências:
Determine o valor de S=1+2 x+3 x^2+ldots(0<x<1).
Sugestão: Multiplique os dois membros por x.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a soma da série infinita
S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + cdots
no intervalo 0 < x < 1. O conteúdo aqui é manipulação de séries e soma de uma série geométrica.

Passo 2

Definimos
S = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + cdots
e multiplicamos ambos os lados por x, obtendo
xS = x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + cdots

Passo 3

Subtraímos a segunda igualdade da primeira para eliminar termos:
S - xS = (1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + cdots) - (x + 2x^2 + 3x^3 + 4x^4 + cdots)
No lado direito sobra
1 + (2x - x) + (3x^2 - 2x^2) + (4x^3 - 3x^3) + cdots = 1 + x + x^2 + x^3 + cdots

Passo 4

Reconhecemos que
1 + x + x^2 + x^3 + cdots
é uma série geométrica de razão x com soma
11 - x,
válida para |x|<1.

Passo 5

Como S - xS = S(1 - x), temos
S(1 - x) = 11 - x Longrightarrow S = 1(1 - x)^2

Resposta

S = 1(1 - x)^2

Exercícios de Livros Relacionados