Prove que, se ( a1, a2, a3, ldots ) é uma P.G., então ( a1, a3, a5, ldots ) e ( a2, a4, a6, ldots ) também são P.G.

Passo 1

O enunciado diz que (a1,a2,a3,dots) é uma progressão geométrica (P.G.), ou seja, existe uma razão q tal que
an+1an=q para todo n>=1
Queremos mostrar que as duas subsequências
(a1,a3,a5,dots) e (a2,a4,a6,dots) também são P.G. Para isso usaremos a fórmula geral de uma P.G.

Passo 2

Como (an) é P.G. de razão q, vale a fórmula conhecida
an=a1,q^,n-1,
pois com isso satisfazemos an+1/an=q.

Passo 3

Definimos a subsequência ímpar por bk=a2k-1, onde k=1,2,3,dots. Então
bk = a2k-1 = a1,q^(2k-1)-1 = a1,q^2k-2 = a1,(q^2)^,k-1
Logo
bk+1bk =a1,(q^2)^ka1,(q^2)^,k-1 =q^2,
ou seja, (bk)=(a1,a3,a5,dots) é P.G. de razão q^2.

Passo 4

Da mesma forma, definimos a subsequência par por ck=a2k. Então
ck = a2k = a1,q^2k-1 = l(a1,qr),(q^2)^,k-1 = a2,(q^2)^,k-1
Logo
ck+1ck =a2,(q^2)^ka2,(q^2)^,k-1 =q^2,
ou seja, (ck)=(a2,a4,a6,dots) também é P.G. de razão q^2.

Resposta

As subsequências (a1,a3,a5,dots) e (a2,a4,a6,dots) são P.G. de razão q^2.

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