Dois conjuntos, e , são tais que o número de elementos de - é 50 , o número de elementos de é 62 e o número de elementos de e B - A estão em progressão geométrica. Determine o número de elementos do conjunto .
Passo 1
O enunciado trata de dois conjuntos e , e pede . Sabemos que l|A - Br|=50, que l|Acup Br|=62, e que os números l|A - Br|, l|Acap Br| e l|B - Ar| formam uma progressão geométrica. Vamos traduzir isso em variáveis e usar propriedades de conjuntos e de progressão geométrica.
Passo 2
Defina ;x = l|A - Br|, y = l|Acap Br|, z = l|B - Ar|.
Do enunciado temos
x = 50
e, como ;Acup B = (A-B)cup(Acap B)cup(B-A) é disjunto,
l|Acup Br| = x + y + z = 62
Substituindo x=50 obtemos
y + z = 62 - 50 = 12 Longrightarrow z = 12 - y
Passo 3
A condição de progressão geométrica entre x,y,z diz que
Como ;y=l|Acap Br| não pode ser negativo, escolhemos y=10.
Resposta
l|Acap Br| = 10.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 149