Dois conjuntos, A e B, são tais que o número de elementos de A - B é 50 , o número de elementos de A cup B é 62 e o número de elementos de A-B, A cap B e B - A estão em progressão geométrica. Determine o número de elementos do conjunto A cap B.

Passo 1

O enunciado trata de dois conjuntos A e B, e pede l|Acap Br|. Sabemos que l|A - Br|=50, que l|Acup Br|=62, e que os números l|A - Br|, l|Acap Br| e l|B - Ar| formam uma progressão geométrica. Vamos traduzir isso em variáveis e usar propriedades de conjuntos e de progressão geométrica.

Passo 2

Defina
;x = l|A - Br|, y = l|Acap Br|, z = l|B - Ar|.
Do enunciado temos
x = 50
e, como
;Acup B = (A-B)cup(Acap B)cup(B-A) é disjunto,
l|Acup Br| = x + y + z = 62
Substituindo x=50 obtemos
y + z = 62 - 50 = 12 Longrightarrow z = 12 - y

Passo 3

A condição de progressão geométrica entre x,y,z diz que
yx = zy Longrightarrow y^2 = x,z
Substituindo x=50 e z = 12 - y na equação acima:

Passo 4

y^2 = 50,(12 - y) Longrightarrow y^2 = 600 - 50y Longrightarrow y^2 + 50y - 600 = 0
Essa é uma equação quadrática cuja discrimante é
De<a = 50^2 - 4cdot1cdot(-600) = 2500 + 2400 = 4900,
logo raizDe<a = 70. As raízes são
y = -50 pm 702 ;Longrightarrow; y1 = 202 = 10, y2 = -1202 = -60
Como ;y=l|Acap Br| não pode ser negativo, escolhemos y=10.

Resposta

l|Acap Br| = 10.

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