Partindo de um quadrado Q1, cujo lado mede a metros, consideremos os quadrados Q2, Q3, Q4, ldots, Qn tais que os vértices de cada quadrado sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcule, então, a soma das áreas dos quadrados Q1, Q2, Q3, ldots, Qn.

Passo 1

O enunciado parte de um quadrado Q1 de lado a e constrói, dentro dele, o quadrado Q2 cujos vértices são os pontos médios dos lados de Q1; em seguida, constrói Q3 dentro de Q2 do mesmo modo, e assim por diante até Qn. O que precisamos fazer é calcular a soma das áreas A1 + A2 + cdots + An, reconhecendo que essas áreas formam uma progressão geométrica.

Passo 2

Vamos encontrar a razão dessa progressão geométrica. O lado de Q2 é a distância entre dois pontos médios de lados adjacentes de Q1. Cada um desses pontos está a a/2 de distância de um vértice, de modo que
lado de Q2 =raizl(tfraca2r)^2+l(tfraca2r)^2 =araiz2
Logo,
A1=a^2, A2=l(araiz2r)^2=a^22
Cada quadrado seguinte tem o lado reduzido pelo mesmo fator 1/raiz2, de modo que
Ak=a^2l(12r)^k-1 para k=1,2,dots,n

Passo 3

A soma das n áreas é a soma finita da progressão geométrica de primeiro termo A1=a^2 e razão r=tfrac12. Aplicando a fórmula
sumk=1^nAk =A1,1-r^n1-r =a^2,1-(tfrac12)^n1-tfrac12 =2a^2l(1-2^-nr)

Resposta

2a^2l(1-2^-nr)

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