Partindo de um quadrado
, cujo lado mede a metros, consideremos os quadrados
tais que os vértices de cada quadrado sejam os pontos médios dos lados do quadrado anterior. Calcule, então, a soma das áreas dos quadrados
.
Passo 1
O enunciado parte de um quadrado
de lado
e constrói, dentro dele, o quadrado
cujos vértices são os pontos médios dos lados de
; em seguida, constrói
dentro de
do mesmo modo, e assim por diante até
. O que precisamos fazer é calcular a soma das áreas
, reconhecendo que essas áreas formam uma progressão geométrica.
Passo 2
Vamos encontrar a razão dessa progressão geométrica. O lado de
é a distância entre dois pontos médios de lados adjacentes de
. Cada um desses pontos está a
de distância de um vértice, de modo que
Logo,
Cada quadrado seguinte tem o lado reduzido pelo mesmo fator
, de modo que
Passo 3
A soma das
áreas é a soma finita da progressão geométrica de primeiro termo
e razão
. Aplicando a fórmula