As medidas dos lados de um triângulo são expressas por números inteiros em P.G. e seu produto é 1728. Calcule as medidas dos lados.
Passo 1
O enunciado diz que as medidas dos lados de um triângulo são números inteiros em progressão geométrica (PG) e que o produto desses três termos vale
.
Conteúdo: progressão geométrica e desigualdade triangular.
Vamos usar a fórmula do produto dos termos de uma PG e depois impor as condições de integralidade e de existência do triângulo.
Conteúdo: progressão geométrica e desigualdade triangular.
Vamos usar a fórmula do produto dos termos de uma PG e depois impor as condições de integralidade e de existência do triângulo.
Passo 2
Sejam os lados da PG
.
O produto vale
O produto vale
Logo
Isto nos dá que os lados podem ser escritos como
Passo 3
Para que
e
sejam inteiros,
deve ser um número racional cujo quociente e produto com
sejam inteiros.
Escrevendo em forma irredutível, isso exige que
e
dividam
.
Assim, testamos valores de formados por divisores de
.
Escrevendo
Assim, testamos valores de
Passo 4
Listamos as possibilidades principais de
que dividem
em forma reduzida e calculamos os lados
, verificando a desigualdade triangular
:
r
\quad lados
\quad\to
verdadeiro
\quad lados
r
\quad lados
verdadeiro
\quad lados
r
\quad lados
verdadeiro
\quad lados
Os outros
geram ou lados não inteiros ou falham na desigualdade triangular.
Resposta
As possíveis medidas dos lados são
( ,
,
),
( ,
,
)
ou
( ,
,
).
(
(
ou
(