As medidas dos lados de um triângulo são expressas por números inteiros em P.G. e seu produto é 1728. Calcule as medidas dos lados.

Passo 1

O enunciado diz que as medidas dos lados de um triângulo são números inteiros em progressão geométrica (PG) e que o produto desses três termos vale 1728.
Conteúdo: progressão geométrica e desigualdade triangular.
Vamos usar a fórmula do produto dos termos de uma PG e depois impor as condições de integralidade e de existência do triângulo.

Passo 2

Sejam os lados da PG a,;ar,;ar^2.
O produto vale
acdot(ar)cdot(ar^2)=a^3r^3=(ar)^3=1728
Logo
ar=raiz[3]1728=12
Isto nos dá que os lados podem ser escritos como
12r,;12,;12r

Passo 3

Para que tfrac12r e 12r sejam inteiros, r deve ser um número racional cujo quociente e produto com 12 sejam inteiros.
Escrevendo r=tfracmn em forma irredutível, isso exige que m e n dividam 12.
Assim, testamos valores de r formados por divisores de 12.

Passo 4

Listamos as possibilidades principais de r>=1 que dividem 12 em forma reduzida e calculamos os lados l(tfrac12r,12,12rr), verificando a desigualdade triangular tfrac12r+12>12r:
r =1
\quad lados = (12, 12, 12)\quad\to 12+12>12 verdadeiro
r = tfrac32
\quad lados = l(12divtfrac32,,12,,12cdottfrac32r)=(8,,12,,18) 8+12>18 verdadeiro
r = tfrac43
\quad lados = l(12divtfrac43,,12,,12cdottfrac43r)=(9,,12,,16) 9+12>16 verdadeiro
Os outros rin2,3,4,6,12 geram ou lados não inteiros ou falham na desigualdade triangular.

Resposta

As possíveis medidas dos lados são
( 8, 12, 18),
( 9, 12, 16)
ou
( 12, 12, 12).

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