Calcule toda a área englobada por y^2=9 x^2-x^4.

Passo 1

O enunciado pede a área de toda a região englobada pela curva
y^2 = 9x^2 - x^4
O conteúdo envolvido é cálculo de área por integração, usando a simetria da curva para simplificar o trabalho.

Passo 2

Observamos que a curva satisfaz
y = pm raiz9x^2 - x^4 = pm xraiz9 - x^2,
e que o domínio real é -3 <= x <= 3. A região é simétrica em relação aos eixos x e y, e forma dois “laços” iguais em x>=0 e x<=0. Logo, podemos calcular a área de um quarto do laço (primeiro quadrante) e multiplicar por 4. Assim,
A = 4 integral0^3 l(a<ura positivar),dx = 4 integral0^3 xraiz9 - x^2,dx

Passo 3

Escrevendo a integral para a área total:
A = 4 integral0^3 x raiz9 - x^2,dx

Passo 4

Fazemos a substituição para resolver a integral:
u = 9 - x^2, du = -2x,dx Longrightarrow x,dx = -12,du
Quando x=0, u=9; quando x=3, u=0. Assim,
integral0^3 xraiz9 - x^2,dx = integral9^0 raizu,l(-tfrac12,dur) = tfrac12integral0^9 u^1/2,du = tfrac12cdot 23u^3/2|0^9 = 13l(9^3/2r) = 13cdot27 = 9

Passo 5

Substituindo de volta em A:
A = 4 times 9 = 36

Resposta

36

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