Prove que, se a, b, c, d, nessa ordem, estão em P.G., então vale a relação: (b-c)^2=a c+b d-2 a d.

Passo 1

O enunciado afirma que a,b,c,d, nessa ordem, formam uma progressão geométrica. Isso significa que existe uma razão q tal que
ba=cb=dc=q
Vamos usar essa definição para reescrever b,c,d em função de a e q e depois verificar a identidade
(b-c)^2=a,c+b,d-2,a,d

Passo 2

Como tfracba=q, temos
b = a,q
Em seguida, tfraccb=q
c = b,q = a,q^2,
e finalmente tfracdc=q
d = c,q = a,q^3

Passo 3

Vamos calcular o lado esquerdo da identidade, isto é, (b-c)^2. Substituindo b=a,q e c=a,q^2, obtemos
(b-c)^2 = l(a,q - a,q^2r)^2 = a^2 l(q - q^2r)^2 = a^2 q^2(1 - q)^2

Passo 4

Agora calculamos o lado direito, a,c + b,d - 2,a,d. Substituindo c=a,q^2, b=a,q e d=a,q^3, temos
a,c + b,d - 2,a,d = a,(a,q^2) + (a,q),(a,q^3) - 2,a,(a,q^3) = a^2q^2 + a^2q^4 - 2a^2q^3
Fatorando a^2q^2, chega-se a
a^2q^2 + a^2q^4 - 2a^2q^3 = a^2q^2l(1 + q^2 - 2qr) = a^2q^2(1 - q)^2

Passo 5

Comparando os dois resultados, vemos que
(b-c)^2 = a^2q^2(1 - q)^2 e a,c + b,d - 2,a,d = a^2q^2(1 - q)^2,
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(b-c)^2 = a,c + b,d - 2,a,d

Resposta

A identidade está provada.

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