Calcule o valor da expressão:

Passo 1

O enunciado pede para calcular
1 + l(tfrac14r)^n + sumk=1^nbinomnkl(tfrac14r)^,n-kl(tfrac34r)^k
O conteúdo envolvido é o Teorema do Binômio de Newton, que afirma que
sumk=0^nbinomnka^,n-kb^,k = (a+b)^n

Passo 2

Aplicamos o binômio com a=tfrac14 e b=tfrac34. Logo
sumk=0^nbinomnkl(tfrac14r)^,n-kl(tfrac34r)^k = l(tfrac14+tfrac34r)^n = 1^n = 1

Passo 3

A soma de k=1 até n é a soma total menos o termo k=0. Para k=0 temos
binomn0l(tfrac14r)^nl(tfrac34r)^0 = 1cdotl(tfrac14r)^ncdot1 = l(tfrac14r)^n
Portanto,
sumk=1^nbinomnkl(tfrac14r)^n-kl(tfrac34r)^k = 1 - l(tfrac14r)^n

Passo 4

Substituímos no enunciado:
1 + l(tfrac14r)^n + sumk=1^nbinomnkl(tfrac14r)^n-kl(tfrac34r)^k = 1 + l(tfrac14r)^n + l(1 - l(tfrac14r)^nr)
Os termos l(tfrac14r)^n se cancelam, sobrando 1+1.

Resposta

2

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