Desenvolvendo o polinômio (x+y+z)^4, qual o coeficiente do termo em x^2 y z ? E do termo x y z^2 ?

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver o polinômio (x+y+z)^4 e identificar os coeficientes dos termos ,x^2yz e xyz^2. O conteúdo que vamos usar é o Teorema Multinomial, que generaliza o binômio de Newton para somas com mais de duas parcelas.

Passo 2

Pelo Teorema Multinomial, na expansão de (x+y+z)^4 o coeficiente de x^ay^bz^c (com a+b+c=4) é dado por
4!a!,b!,c!

Passo 3

Para o termo x^2yz temos a=2, b=1, c=1. Logo o coeficiente é
4!2!,1!,1! =242cdot1cdot1 =12

Passo 4

Para o termo xyz^2 temos a=1, b=1, c=2. Logo o coeficiente é
4!1!,1!,2! =241cdot1cdot2 =12

Resposta

O coeficiente de x^2yz é 12 e o coeficiente de xyz^2 também é 12.

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