Calcule o valor da expressão (1-raiz5)^5-(1+raiz5)^5.

Passo 1

O enunciado pede o valor de (1-raiz5)^5 - (1+raiz5)^5. Vamos usar o teorema binomial e explorar a simetria entre termos pares e ímpares na expansão para simplificar sem precisar expandir tudo.

Passo 2

Pelo teorema binomial, definindo b=raiz5:
(1-b)^5 = sumk=0^5 binom5k1^5-k(-b)^k,
(1+b)^5 = sumk=0^5 binom5k1^5-kb^k
Ao subtrair essas duas somas, os termos com k par se anulam e os com k ímpar aparecem com fator -2.

Passo 3

Portanto,
(1-b)^5 - (1+b)^5 = -2l(binom51b + binom53b^3 + binom55b^5r)

Passo 4

Calculando cada termo para b=raiz5:
binom51b = 5b, binom53b^3 = 10b^3, binom55b^5 = b^5
Como b^3=(raiz5)^3=5raiz5 e b^5=(raiz5)^5=25raiz5, segue
5b + 10b^3 + b^5 = 5raiz5 + 10cdot5raiz5 + 25raiz5 = 80raiz5

Passo 5

Multiplicando por -2, obtemos
(1-raiz5)^5 - (1+raiz5)^5 = -2 times 80raiz5 = -160raiz5

Resposta

-160raiz5

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