Demonstre que o determinante D é divisível por x+3 a sem desenvolvê-lo. Dado:
D=|llll x & a & a & a a & x & a & a a & a & x & a a & a & a & x |

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante
D= x & a & a & a a & x & a & a a & a & x & a a & a & a & x
é divisível por x+3a. O conteúdo envolvido são as propriedades de determinante:
  1. somar linhas (ou colunas) não altera o determinante;
  2. subtrair uma coluna de outra também não altera o determinante;
  3. extrair fator comum de uma linha (ou coluna).
    Vamos aplicar operações elementares para evidenciar o fator x+3a sem desenvolver o determinante por expansão.

Passo 2

Aplicamos a operação na linha 1:
R1 ;;R1+R2+R3+R4,
que não altera D. A nova linha 1 fica
(x+a+a+a,;a+x+a+a,;a+a+x+a,;a+a+a+x)=(x+3a,;x+3a,;x+3a,;x+3a)

Passo 3

Em seguida, para j=2,3,4, fazemos
Cj;;Cj-C1,
também sem alterar D. O efeito é zerar as entradas da linha 1 nas colunas 2,3,4. O determinante fica, em forma triangular,
x+3a & 0 & 0 & 0 a & x-a & 0 & 0 a & 0 & x-a & 0 a & 0 & 0 & x-a
Agora extraímos o fator (x+3a) da primeira linha e (x-a) de cada uma das linhas 2,3 e 4.

Passo 4

Pelo produto dos fatores extraídos, obtemos
D=(x+3a),(x-a),(x-a),(x-a)=(x+3a)(x-a)^3

Resposta

D=(x+3a)(x-a)^3,
logo D é divisível por x+3a.

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