Demonstre que o determinante é divisível por sem desenvolvê-lo. Dado:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o determinante
D= x & a & a & a a & x & a & a a & a & x & a a & a & a & x
é divisível por x+3a. O conteúdo envolvido são as propriedades de determinante:
somar linhas (ou colunas) não altera o determinante;
subtrair uma coluna de outra também não altera o determinante;
extrair fator comum de uma linha (ou coluna).
Vamos aplicar operações elementares para evidenciar o fator x+3a sem desenvolver o determinante por expansão.
também sem alterar D. O efeito é zerar as entradas da linha 1 nas colunas 2,3,4. O determinante fica, em forma triangular,
x+3a & 0 & 0 & 0 a & x-a & 0 & 0 a & 0 & x-a & 0 a & 0 & 0 & x-a
Agora extraímos o fator (x+3a) da primeira linha e (x-a) de cada uma das linhas 2,3 e 4.
Passo 4
Pelo produto dos fatores extraídos, obtemos
D=(x+3a),(x-a),(x-a),(x-a)=(x+3a)(x-a)^3
Resposta
D=(x+3a)(x-a)^3,
logo D é divisível por x+3a.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 296