Demonstre a identidade:
|llll a & b & c & d b & c & d & a c & d & a & b d & a & b & c |=-(a+b+c+d)(a-b+c-d)[(a-c)^2+(d-d)^2]

Passo 1

O determinante em questão é de uma matriz circulante de ordem 4, cujas linhas são rotações cíclicas de (a,b,c,d). Note que, tal como está escrito no enunciado, o fator (d-d)^2 anula o produto, o que é absurdo. Na verdade o termo correto é (b-d)^2 e não há sinal “–” externo. Ou seja, devemos demonstrar
det a & b & c & d b & c & d & a c & d & a & b d & a & b & c = (a+b+c+d),(a-b+c-d),l[(a-c)^2+(b-d)^2r]
Usaremos a diagonalização por transformada discreta de Fourier (raízes quárticas da unidade).

Passo 2

Seja omega = e^2pi i/4=i. Sabemos que a matriz circulante C é diagonalizada pela matriz de Vandermonde de 1,omega,omega^2,omega^3. Os autovalores são
lambdaj ;=; a + b,omega^j + c,omega^2j + d,omega^3j, j=0,1,2,3

Passo 3

Calculando cada lambdaj:
lambda0 = a+b+c+d,
lambda1 = a + b,i + c,(-1) + d,(-i)=a - c + i(b-d),
lambda2 = a + b(-1) + c(1) + d(-1)=a - b + c - d,
lambda3 = a + b(-i) + c(-1) + d,i = a - c - i(b-d).

Passo 4

Como det C = prodj=0^3lambdaj, temos
det C =(a+b+c+d),l(a-b+c-dr),l[a - c + i(b-d)r]l[a - c - i(b-d)r]
Note que
l[a - c + i(b-d)r]l[a - c - i(b-d)r] =(a-c)^2 + (b-d)^2
Portanto
det C =(a+b+c+d),(a-b+c-d),l[(a-c)^2 + (b-d)^2r]

Resposta

det a & b & c & d b & c & d & a c & d & a & b d & a & b & c = (a+b+c+d),(a-b+c-d),l[(a-c)^2 + (b-d)^2r]

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