1.3) Calcule o valor da soma \frac{\binom{n}{0}}{1}-\frac{\binom{n}{1}}{2}+\frac{\binom{n}{2}}{3}-\frac{\binom{n}{3}}{4}+\ldots+\frac{(-1)^{n}\binom{n}{n}}{n+1}.

Solução:

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
S = \frac{\binom{n}{0}}{1} - \frac{\binom{n}{1}}{2} + \frac{\binom{n}{2}}{3} - \cdots + \frac{(-1)^n \binom{n}{n}}{n+1}.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula do binômio de Newton e a troca de soma por integral para polinômios, já que é finita.

Passo 2

Pela fórmula do binômio de Newton com sinal alternado, para todo x em [0,1] vale
(1 - x)^n \;=\;\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k\,x^k.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados de x=0 a x=1. Do lado esquerdo temos
\int_{0}^{1}(1 - x)^n\,dx,
e do lado direito, como a soma é finita, podemos trocar soma e integral:
\int_{0}^{1}(1 - x)^n\,dx =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k\int_{0}^{1}x^k\,dx =\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k\,\frac{1}{k+1}.
O segundo membro é exatamente S.

Passo 4

Basta então calcular a integral simples:
\int_{0}^{1}(1 - x)^n\,dx =\Bigl[-\frac{(1 - x)^{n+1}}{n+1}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{n+1}.

Passo 5

Concluímos que a soma original vale
S = \frac{1}{n+1}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{n+1}

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