Calcule o volume e a área total de um prisma, sendo sua seção reta um trapézio isósceles cujas bases medem 30 cm e 20 cm e cuja altura mede 10 raiz2 cm e a área lateral 640 cm^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume e a área total de um prisma reto cuja seção transversal é um trapézio isósceles. As bases do trapézio medem 30,cm e 20,cm, a altura mede 10raiz2,cm, e já conhecemos a área lateral do prisma, que é 640,cm ^2. Para resolver, vamos:
1. Calcular o comprimento dos lados não paralelos (lados isósceles) do trapézio.
2. Determinar o perímetro da base do prisma.
3. Usar a área lateral para achar a altura (comprimento) do prisma.
4. Calcular a área da base (trapézio) e daí o volume.
5. Somar as áreas lateral e das duas bases para obter a área total.

Passo 2

Para achar o comprimento do lado isósceles do trapézio, note que a diferença das bases é 30 - 20 = 10,cm, dividida em duas metades dá 5,cm de projeção horizontal em cada lado. Assim, em cada “meio” trapézio retângulo:
cateto horizontal = 5, cateto vertical = 10raiz2
Pelo teorema de Pitágoras, o lado isósceles vale
raiz5^2 + l(10raiz2r)^2 = raiz25 + 200 = raiz225 = 15 cm

Passo 3

O perímetro da base (trapézio) é a soma das duas bases com os dois lados iguais:
P = 30 + 20 + 2cdot15 = 80 cm

Passo 4

A área lateral L de um prisma reto é o produto do perímetro da base pela altura h do prisma:
L = P cdot h
Como L = 640,cm ^2 e P = 80,cm, temos
h = LP = 64080 = 8 cm

Passo 5

A área da base (trapézio) é
Abase = (30 + 20)2,l(10raiz2r) = 25 cdot 10raiz2 = 250raiz2 cm^2
O volume do prisma é
V = Abase cdot h = 250raiz2 times 8 = 2000raiz2 cm^3

Passo 6

A área total do prisma é a soma da área lateral com as áreas das duas bases:
Atotal = L + 2,Abase = 640 + 2cdotl(250raiz2r) = 640 + 500raiz2 cm^2

Resposta

Volume: 2000raiz2,cm^3
Área total: 640 + 500raiz2,cm^2

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