Calcule o volume de um cone equilátero em função de sua área total
.
Passo 1
O enunciado pede o volume de um cone equilátero em função de sua área total
. O conteúdo é geometria de sólidos: usaremos as fórmulas de área total e de volume do cone reto, mais a definição de cone equilátero (o triângulo formado pela geratriz e o diâmetro da base é equilátero).
Passo 2
Num cone reto, seja
o raio da base,
a altura e
a geratriz. Em um cone equilátero esse triângulo é equilátero, logo a geratriz vale o diâmetro da base:
Pela relação de Pitágoras no triângulo de lados
,
e
, temos
Passo 3
A área total
do cone é a soma da área lateral
com a área da base
:
Desse modo
Passo 4
O volume do cone é
Substituindo
e, portanto,
, vem
Passo 5
Para simplificar,