Calcule o volume de um cone equilátero em função de sua área total S.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um cone equilátero em função de sua área total S. O conteúdo é geometria de sólidos: usaremos as fórmulas de área total e de volume do cone reto, mais a definição de cone equilátero (o triângulo formado pela geratriz e o diâmetro da base é equilátero).

Passo 2

Num cone reto, seja r o raio da base, h a altura e l a geratriz. Em um cone equilátero esse triângulo é equilátero, logo a geratriz vale o diâmetro da base:
l = 2r
Pela relação de Pitágoras no triângulo de lados h, r e l, temos
h = raizl^2 - r^2 = raiz(2r)^2 - r^2 = raiz4r^2 - r^2 = raiz3,r

Passo 3

A área total S do cone é a soma da área lateral pi r l com a área da base pi r^2:
S = pi r,l + pi r^2 = pi r,(2r) + pi r^2 = 2pi r^2 + pi r^2 = 3pi r^2
Desse modo
r^2 = S3pi

Passo 4

O volume do cone é
V = 13,pi r^2h = 13,pi r^2l(raiz3,rr) = raiz33,pi,r^3
Substituindo r^2 = S/(3pi) e, portanto, r^3 = l(S/(3pi)r)^3/2, vem
V = raiz33,pi l(S3pir)^!tfrac32

Passo 5

Para simplificar,
V = raiz33,pi S^3/2(3pi)^3/2 = raiz33,pi S^3/23^3/2,pi^3/2 = S^3/23^1+1/2,pi^1/2 = S^3/29,raizpi

Resposta

V = S^3/29,raizpi

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