Com um setor circular de 120^circ e raio R , construímos um cone. Calcule a área total e o volume do cone.

Passo 1

O enunciado diz que temos um setor circular de ângulo 120^circ (isto é, tfrac2pi3 rad) e raio R, que ao unir as bordas radiais forma um cone cuja geratriz é R. Vamos usar: comprimento de arco vira circunferência da base, área do setor vira área lateral do cone, e depois calcular base, área total e volume.

Passo 2

O comprimento do arco do setor é
L = R cdot 2pi3 = 2pi R3
Esse arco torna-se a circunferência da base do cone, ou seja
2pi r = L Longrightarrow r = L2pi = R3

Passo 3

A geratriz do cone é l=R. A altura h satisfaz o teorema de Pitágoras no triângulo geratriz–raio–altura:
h = raizl^2 - r^2 = raizR^2 - l(R3r)^2 = 2raiz23,R

Passo 4

A área lateral do cone é exatamente a área do setor:
Alat = 12,R^2cdot2pi3 = pi R^23

Passo 5

A área da base é
Abase = pi r^2 = pil(R3r)^2 = pi R^29

Passo 6

Somando área lateral e base, obtemos a área total:
Atotal = Alat + Abase = pi R^23 + pi R^29 = 4pi R^29

Passo 7

O volume do cone é
V = 13,Abase;h = 13,pil(R3r)^2;2raiz23R = 2raiz2,pi R^381

Resposta

Atotal = 4pi R^29, V = 2raiz2,pi R^381

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