Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
đ‘„2+𝑩2+𝑧2 ≀ 𝑎2 e 𝑧 ≄ 𝑎/2(𝑎>0).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sĂłlido definido por
x^2+y^2+z^2 \le a^2
e
z \ge \tfrac{a}{2},
isto Ă©, a “tampa” superior de uma esfera de raio a, cortada pelo plano z = a/2. Vamos usar seçÔes transversais (fatias) perpendiculares ao eixo z.

Passo 2

Para cada valor fixo de z com \tfrac{a}{2}\le z\le a, a interseção com o plano z=\text{constante} é um disco de raio
r(z)=\sqrt{a^2 - z^2},
cuja ĂĄrea vale
A(z)=\pi\,r(z)^2 = \pi\bigl(a^2 - z^2\bigr).

Passo 3

O volume do sólido obtém-se integrando essas åreas ao longo de z de \tfrac{a}{2} até a:
V = \int_{z=\frac{a}{2}}^{a} A(z)\,dz = \int_{\frac{a}{2}}^{a} \pi\bigl(a^2 - z^2\bigr)\,dz.

Passo 4

Calculando a primitiva, temos
\int \bigl(a^2 - z^2\bigr)\,dz = a^2 z - \frac{z^3}{3}.
Logo
V = \pi\left[\Bigl(a^2 z - \frac{z^3}{3}\Bigr)\right]_{z=\frac{a}{2}}^{z=a} = \pi\Bigl(a^3 - \tfrac{a^3}{3} - \bigl(\tfrac{a^3}{2} - \tfrac{(a/2)^3}{3}\bigr)\Bigr).

Passo 5

Simplificando dentro dos colchetes:
a^3 - \frac{a^3}{3} = \frac{2a^3}{3}, \qquad \tfrac{a^3}{2} - \tfrac{a^3}{24} = \frac{12a^3}{24} - \frac{a^3}{24} = \frac{11a^3}{24},
portanto
V = \pi\Bigl(\frac{2a^3}{3} - \frac{11a^3}{24}\Bigr) = \pi\frac{16a^3 - 11a^3}{24} = \frac{5\pi a^3}{24}.

Resposta

V = \frac{5\pi a^3}{24}.

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