Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
đ‘„2+𝑩2 ≀ 𝑧 ≀ √(4−3đ‘„2−3𝑩2).

Passo 1

O enunciado descreve o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
x^2+y^2 \le z \le \sqrt{4-3(x^2+y^2)}.
Isso Ă© a regiĂŁo entre o paraboloide z=x^2+y^2 por baixo e a superfĂ­cie z=\sqrt{4-3(x^2+y^2)} por cima. Para calcular o volume, vamos projetar no plano xy e usar coordenadas polares.

Passo 2

Na projeção, definimos r^2=x^2+y^2. A condição de existĂȘncia da regiĂŁo Ă©
r^2 \le \sqrt{4-3r^2}.
Elevando ao quadrado,
r^4 \le 4-3r^2 \quad\Longrightarrow\quad r^4+3r^2-4\le0.
Fazendo t=r^2, obtemos t^2+3t-4\le0 com raĂ­zes t=-4 e t=1. Como t\ge0, segue 0\le t\le1, ou seja
0 \le r \le 1.

Passo 3

Montamos o volume em coordenadas polares:
V =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{1}\bigl(\sqrt{4-3r^2}-r^2\bigr)\,r\,dr\,d\theta =2\pi\int_{0}^{1}\bigl(r\sqrt{4-3r^2}-r^3\bigr)\,dr.

Passo 4

Calculamos
A=\int_{0}^{1}r\sqrt{4-3r^2}\,dr.
Fazendo u=4-3r^2, du=-6r\,dr, vai de u(0)=4 a u(1)=1. EntĂŁo
A =\int_{4}^{1}\sqrt{u}\,\Bigl(-\frac{du}{6}\Bigr) =\frac{1}{6}\int_{1}^{4}u^{1/2}du =\frac{1}{6}\cdot\frac{2}{3}\bigl(4^{3/2}-1\bigr) =\frac{7}{9}.

Passo 5

Calculamos
B=\int_{0}^{1}r^3\,dr =\frac{1}{4}.

Passo 6

Subtraindo e multiplicando por 2\pi, temos
V =2\pi\bigl(A - B\bigr) =2\pi\Bigl(\frac{7}{9}-\frac{1}{4}\Bigr) =2\pi\cdot\frac{19}{36} =\frac{19\pi}{18}.

Resposta

V = \frac{19\pi}{18}.

ExercĂ­cios de Livros Relacionados