Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
đ‘„2+4𝑩2+9𝑧2 ≀ 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do conjunto
E = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x^2 + 4y^2 + 9z^2 \le 1\bigr\}.
Este é um elipsoide. Vamos usar uma mudança de variåveis que transforme E na bola unitåria em (u,v,w) e empregar cålculo de jacobiano para obter o volume.

Passo 2

Definimos a transformação linear
u = x,\quad v = 2y,\quad w = 3z.
Então a condição x^2+4y^2+9z^2\le1 vira
u^2 + v^2 + w^2 \le 1,
isto Ă©, o conjunto imagem Ă© a bola unitĂĄria
B = \{(u,v,w)\mid u^2+v^2+w^2\le1\}.

Passo 3

O jacobiano da transformação (x,y,z)\mapsto(u,v,w) é dado por
J = \det\begin{pmatrix} \frac{\partial u}{\partial x}&\frac{\partial u}{\partial y}&\frac{\partial u}{\partial z}\\\ \frac{\partial v}{\partial x}&\frac{\partial v}{\partial y}&\frac{\partial v}{\partial z}\\\ \frac{\partial w}{\partial x}&\frac{\partial w}{\partial y}&\frac{\partial w}{\partial z} \end{pmatrix} = \det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = 1\cdot2\cdot3 = 6.
Como usamos (u,v,w)\mapsto(x,y,z), o fator a inserir na integral Ă© \tfrac1{J} = \tfrac16.

Passo 4

O volume de E Ă©
\Vol(E) \;=\;\iiint_E dV_{x,y,z} \;=\;\iiint_{B} \frac1{6}\,dV_{u,v,w} \;=\;\frac1{6}\,\Vol(B).
Sabemos que a bola unitĂĄria em \mathbb{R}^3 tem volume
\Vol(B) = \frac{4}{3}\,\pi\,(1)^3 = \frac{4}{3}\,\pi.

Passo 5

Substituindo em \Vol(E)=\tfrac1{6}\Vol(B), temos
\Vol(E) = \frac1{6}\,\frac{4}{3}\,\pi = \frac{4}{18}\,\pi = \frac{2}{9}\,\pi.

Resposta

\Vol\bigl\{(x,y,z)\mid x^2+4y^2+9z^2\le1\bigr\} = \frac{2\pi}{9}.

ExercĂ­cios de Livros Relacionados