Calcule o volume de uma pirâmide triangular cuja base tem os lados medindo 12 cm, 15 cm e 9 cm , a aresta lateral 12,5 cm, e sabendo que a projeção do vértice da pirâmide coincide com o circuncentro da base.

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma pirâmide de base triangular com lados medindo 12, 15 e 9 cm, e arestas laterais iguais a 12,5 cm. Sabe-se que a projeção ortogonal do vértice coincide com o circuncentro da base. Para resolver, vamos:
1) calcular a área da base pelo Teorema de Heron;
2) determinar o raio R do circuncírculo da base;
3) achar a altura h da pirâmide usando a relação entre aresta lateral e R;
4) aplicar a fórmula do volume tfrac13Abaseh.

Passo 2

Para calcular a área da base usamos o Teorema de Heron. Primeiro o semi-perímetro:
s = 12 + 15 + 92 = 18
Em seguida,
Abase = raizs(s - 12)(s - 15)(s - 9) = raiz18 cdot 6 cdot 3 cdot 9 = 54 cm^2

Passo 3

O raio do circuncírculo da base é dado por
R = a b c4,Abase = 12 cdot 15 cdot 94 cdot 54 = 7,5 cm

Passo 4

Como as arestas laterais medem 12,5 cm e o vértice está sobre a perpendicular pelo circuncentro, a altura h satisfaz
h = raiz12,5^2 - R^2 = raiz156,25 - 56,25 = raiz100 = 10 cm

Passo 5

Finalmente, o volume é
V = 13,Abase,h = 13cdot54cdot10 = 180 cm^3

Resposta

180 cm^3

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