Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno da hipotenusa, sabendo que um dos ângulos do triângulo é de e que a hipotenusa tem medida 2a.
Passo 1
Temos um triângulo retângulo com , , e hipotenusa . Queremos o volume do sólido obtido ao girar esse triângulo em torno de AB. Para isso, vamos observar que ao girar o vértice C em torno de AB formam-se dois cones com eixo em AB. Usaremos a fórmula do volume de um cone
V=13pi r^2h
onde r é o raio da base e h a altura (distância do vértice à base).
Passo 2
Calculemos os catetos a partir de AB=2a: BC = ABsin A = 2asin60^circ = araiz3 AC = ABsin B = 2asin30^circ = a.
Passo 3
A distância de C à reta AB (raio comum dos cones) é a altura do triângulo sobre a hipotenusa:
CH = ACcdot BCAB = acdot araiz32a = araiz32
Chamemos esse valor de r.
Passo 4
Precisamos das alturas de cada cone, que são as projeções de AC e BC sobre AB. Seja H o pé da perpendicular de C em AB. Então AH = ACcos60^circ = acdot12 = a2, BH = BCcos30^circ = araiz3cdotraiz32 = 3a2
O volume do cone com vértice em A é
VA = 13,pi,r^2,(AH) = 13pil(araiz32r)^2l(a2r) = pi a^38,
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 15.Exercícios - Ex. 1047