Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno da hipotenusa, sabendo que um dos ângulos do triângulo é de 60^circ e que a hipotenusa tem medida 2a.

Passo 1

Temos um triângulo retângulo ABC com ang<= C=90^circ, ang<= A=60^circ, ang<= B=30^circ e hipotenusa AB=2a. Queremos o volume do sólido obtido ao girar esse triângulo em torno de AB. Para isso, vamos observar que ao girar o vértice C em torno de AB formam-se dois cones com eixo em AB. Usaremos a fórmula do volume de um cone
V=13pi r^2h
onde r é o raio da base e h a altura (distância do vértice à base).

Passo 2

Calculemos os catetos a partir de AB=2a:
BC = ABsin A = 2asin60^circ = araiz3
AC = ABsin B = 2asin30^circ = a.

Passo 3

A distância de C à reta AB (raio comum dos cones) é a altura do triângulo sobre a hipotenusa:
CH = ACcdot BCAB = acdot araiz32a = araiz32
Chamemos esse valor de r.

Passo 4

Precisamos das alturas de cada cone, que são as projeções de AC e BC sobre AB. Seja H o pé da perpendicular de C em AB. Então
AH = ACcos60^circ = acdot12 = a2,
BH = BCcos30^circ = araiz3cdotraiz32 = 3a2
O volume do cone com vértice em A é
VA = 13,pi,r^2,(AH) = 13pil(araiz32r)^2l(a2r) = pi a^38,
e o do cone com vértice em B é
VB = 13,pi,r^2,(BH) = 13pil(araiz32r)^2l(3a2r) = 3pi a^38

Passo 5

O volume total é a soma
V = VA + VB = pi a^38 + 3pi a^38 = pi a^32

Resposta

boxedV = pi a^32

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