A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um cateto mede
do outro cateto. Determine o volume do sólido obtido ao girar
o triângulo ao redor de sua hipotenusa.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede
cm e cujos catetos
satisfazem
. Queremos o volume do sólido obtido ao girar esse triângulo
em torno de sua hipotenusa. Para resolver, vamos (1) achar as medidas dos catetos, (2) usar que ao girar cada cateto em torno da hipotenusa gera-se um cone, cujas alturas são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa e cujo raio comum é a altura do vértice do ângulo reto até a hipotenusa.
Passo 2
Aplicando o teorema de Pitágoras e
, temos
logo
cm e
cm.
Passo 3
A distância do vértice do ângulo reto
até a hipotenusa
(isto é, o raio comum dos dois cones) é dada pela “altura ao lado da hipotenusa”:
Passo 4
As projeções dos catetos sobre a hipotenusa são as alturas dos dois cones:
Passo 5
Ao girar o segmento
em torno de
forma-se um cone de altura
e raio
; ao girar
, forma-se outro cone de altura
e mesmo raio
. O volume total é
Passo 6
Como
, segue