A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 20 cm e um cateto mede 34 do outro cateto. Determine o volume do sólido obtido ao girar 360^circ o triângulo ao redor de sua hipotenusa.

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 20 cm e cujos catetos (a,b) satisfazem a = tfrac34b. Queremos o volume do sólido obtido ao girar esse triângulo 360^circ em torno de sua hipotenusa. Para resolver, vamos (1) achar as medidas dos catetos, (2) usar que ao girar cada cateto em torno da hipotenusa gera-se um cone, cujas alturas são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa e cujo raio comum é a altura do vértice do ângulo reto até a hipotenusa.

Passo 2

Aplicando o teorema de Pitágoras e a = tfrac34b, temos
a^2 + b^2 = 20^2 = 400, l(tfrac34br)^2 + b^2 = 400 ;Longrightarrow; tfrac9b^216 + b^2 = tfrac25b^216 = 400 ;Longrightarrow; b^2 = 256,
logo b = 16 cm e a = tfrac34cdot16 = 12 cm.

Passo 3

A distância do vértice do ângulo reto C até a hipotenusa AB (isto é, o raio comum dos dois cones) é dada pela “altura ao lado da hipotenusa”:
hc = acdot bAB = 12cdot1620 = 9,6;cm

Passo 4

As projeções dos catetos sobre a hipotenusa são as alturas dos dois cones:
h1 = a^2AB = 12^220 = 7,2;cm, h2 = b^2AB = 16^220 = 12,8;cm

Passo 5

Ao girar o segmento AC em torno de AB forma-se um cone de altura h1 e raio hc; ao girar BC, forma-se outro cone de altura h2 e mesmo raio hc. O volume total é
V = 13,pi,hc^2,h1 ;+;13,pi,hc^2,h2 = 13,pi;hc^2,(h1 + h2)

Passo 6

Como h1+h2 = 7,2 + 12,8 = 20, segue
V = 13,pi,(9,6)^2cdot20 = 614,4,pi;cm^3

Resposta

V = 614,4,pi;cm^3

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