Calcule o volume do sólido gerado por um triângulo equilátero de lado a que gira em torno de um eixo que contém um vértice e é paralelo à altura relativa a outro vértice.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo equilátero de lado a em torno de um eixo que passa por um vértice e é paralelo à altura traçada de outro vértice.
Conteúdo: uso de geometria analítica para descrever o triângulo e cálculo de volume por integração de áreas de seções transversais (método dos “washers”).

Passo 2

Escolhemos coordenadas no plano xy: seja o triângulo ABC com
A=(0,0), C=(a,0), B=l(tfraca2,,hr),
onde h é a altura do triângulo equilátero,
h=raiz32,a
A altura de B até AC é a linha vertical x=tfrac a2. Um eixo paralelo a essa reta e que passe em A é a reta x=0 (eixo y). Vamos rodar o triângulo em torno de x=0.

Passo 3

Para cada yin[0,h], o triângulo intercepta a reta horizontal de equação y=const no segmento entre
x1(y)=yraiz3(reta AB) e x2(y)=a-yraiz3(reta BC)
Ao girar esse segmento em torno de x=0, obtemos um anel de área
A(y)=pil[x2(y)^2 - x1(y)^2r] =pil[l(a-tfracyraiz3r)^2 - l(tfracyraiz3r)^2r]
Expandindo,
l(a-tfracyraiz3r)^2 - l(tfracyraiz3r)^2 = a^2 - 2araiz3,y
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A(y)=pil(a^2 - 2araiz3,yr)

Passo 4

O volume é
V=integraly=0^hA(y),dy =piintegral0^hl(a^2 - 2araiz3,yr)dy =pil[a^2,h - 2araiz3,h^22r] =pil(a^2,h - a,h^2raiz3r)

Passo 5

Substituindo h=tfracraiz32a:
a^2h = a^2cdotraiz32a = raiz32,a^3, a,h^2raiz3 =araiz3l(34a^2r) =raiz34,a^3
Portanto
V=pil(raiz32a^3 - raiz34a^3r) =piraiz34,a^3

Resposta

V=raiz3,pi,a^34

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