Calcule o volume do sólido gerado por um triângulo equilátero de lado a que gira em torno de um eixo que contém um vértice e é paralelo à altura relativa a outro vértice.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação de um triângulo equilátero de lado
em torno de um eixo que passa por um vértice e é paralelo à altura traçada de outro vértice.
Conteúdo: uso de geometria analítica para descrever o triângulo e cálculo de volume por integração de áreas de seções transversais (método dos “washers”).
Conteúdo: uso de geometria analítica para descrever o triângulo e cálculo de volume por integração de áreas de seções transversais (método dos “washers”).
Passo 2
Escolhemos coordenadas no plano
: seja o triângulo
com
onde
é a altura do triângulo equilátero,
A altura de
até
é a linha vertical
. Um eixo paralelo a essa reta e que passe em
é a reta
(eixo
). Vamos rodar o triângulo em torno de
.
Passo 3
Para cada
, o triângulo intercepta a reta horizontal de equação
no segmento entre
Ao girar esse segmento em torno de
, obtemos um anel de área
Expandindo,
Logo
Passo 4
O volume é
Passo 5
Substituindo
:
Portanto