Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
z^2(z^2+a^2)^2.

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a função
f(z)=z^2l(z^2+a^2r)^2
determinando a natureza das suas singularidades e calculando os resíduos nesses pontos. Isso envolve saber o que é polo de ordem n e usar a fórmula de resíduo para polos de ordem 2.

Passo 2

As singularidades vêm de z^2+a^2=0, ou seja,
z^2=-a^2Longrightarrow z=pm i,a
Como o denominador está ao quadrado, cada uma dessas raízes é um polo de ordem 2.

Passo 3

Para calcular o resíduo num polo de ordem 2 em z0, usamos a fórmula
Resl(f,z0r) =limzto z0ddzl[(z-z0)^2,f(z)r]

Passo 4

Vamos fazer primeiro em z0=i,a. Definimos
g(z)=(z-i,a)^2f(z) =z^2(z+i,a)^2
Então
g'(z) =2z,(z+i,a)^2-z^2cdot2,(z+i,a)(z+i,a)^4 =2z,(z+i,a)-2z^2(z+i,a)^3
Avalia em z=i,a:
num =2(i,a)cdot2(i,a)-2(i,a)^2 =4,i^2a^2-2(-a^2) =-4a^2+2a^2=-2a^2,
den =(2,i,a)^3=8,i^3a^3=-8,i,a^3
Logo
Resl(f,i,ar) =g'(i,a) =-2a^2-8,i,a^3 =14,i,a =-i4a

Passo 5

Agora em z0=-i,a. Definimos
h(z)=(z+i,a)^2f(z) =z^2(z-i,a)^2
e calculamos
h'(z) =2z,(z-i,a)-2z^2(z-i,a)^3
Avalia em z=-i,a:
num =2(-i,a)cdot(-2,i,a)-2(-i,a)^2 =4,i^2a^2-2(-a^2) =-4a^2+2a^2=-2a^2,
den =(-2,i,a)^3=-8,i^3a^3=8,i,a^3
Logo
Resl(f,-i,ar) =h'(-i,a) =-2a^28,i,a^3 =-14,i,a =i4a

Resposta

As singularidades de f(z) são polos de ordem 2 em z=pm i,a.
Resl(f,i,ar)=-i4a, Resl(f,-i,ar)=i4a

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