Determine a natureza das singularidades de cada uma das seguintes funções e avalie os resíduos
\frac{z^{2}}{\left(z^{2}+a^{2}\right)^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a função
f(z)=\frac{z^{2}}{\bigl(z^{2}+a^{2}\bigr)^{2}}
determinando a natureza das suas singularidades e calculando os resíduos nesses pontos. Isso envolve saber o que é polo de ordem n e usar a fórmula de resíduo para polos de ordem 2.

Passo 2

As singularidades vêm de z^{2}+a^{2}=0, ou seja,
z^{2}=-a^{2}\quad\Longrightarrow\quad z=\pm i\,a.
Como o denominador está ao quadrado, cada uma dessas raízes é um polo de ordem 2.

Passo 3

Para calcular o resíduo num polo de ordem 2 em z_{0}, usamos a fórmula
\mathrm{Res}\bigl(f,z_{0}\bigr) =\lim_{z\to z_{0}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\Bigl[(z-z_{0})^{2}\,f(z)\Bigr].

Passo 4

Vamos fazer primeiro em z_{0}=i\,a. Definimos
g(z)=(z-i\,a)^{2}f(z) =\frac{z^{2}}{(z+i\,a)^{2}}.
Então
g'(z) =\frac{2z\,(z+i\,a)^{2}-z^{2}\cdot2\,(z+i\,a)}{(z+i\,a)^{4}} =\frac{2z\,(z+i\,a)-2z^{2}}{(z+i\,a)^{3}}.
Avalia em z=i\,a:
\text{num} =2(i\,a)\cdot2(i\,a)-2(i\,a)^{2} =4\,i^{2}a^{2}-2(-a^{2}) =-4a^{2}+2a^{2}=-2a^{2},
\text{den} =(2\,i\,a)^{3}=8\,i^{3}a^{3}=-8\,i\,a^{3}.
Logo
\mathrm{Res}\bigl(f,i\,a\bigr) =g'(i\,a) =\frac{-2a^{2}}{-8\,i\,a^{3}} =\frac{1}{4\,i\,a} =-\frac{i}{4a}.

Passo 5

Agora em z_{0}=-i\,a. Definimos
h(z)=(z+i\,a)^{2}f(z) =\frac{z^{2}}{(z-i\,a)^{2}}
e calculamos
h'(z) =\frac{2z\,(z-i\,a)-2z^{2}}{(z-i\,a)^{3}}.
Avalia em z=-i\,a:
\text{num} =2(-i\,a)\cdot(-2\,i\,a)-2(-i\,a)^{2} =4\,i^{2}a^{2}-2(-a^{2}) =-4a^{2}+2a^{2}=-2a^{2},
\text{den} =(-2\,i\,a)^{3}=-8\,i^{3}a^{3}=8\,i\,a^{3}.
Logo
\mathrm{Res}\bigl(f,-i\,a\bigr) =h'(-i\,a) =\frac{-2a^{2}}{8\,i\,a^{3}} =-\frac{1}{4\,i\,a} =\frac{i}{4a}.

Resposta

As singularidades de f(z) são polos de ordem 2 em z=\pm i\,a.
\mathrm{Res}\bigl(f,i\,a\bigr)=-\frac{i}{4a}, \qquad \mathrm{Res}\bigl(f,-i\,a\bigr)=\frac{i}{4a}.

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